Question

Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AB, N thuộc cạnh AC sao cho AM=\(\frac{1}{4}\)AB, AN=\(\frac{2}{3}\)AC và điểm P thỏa mãn \(\overrightarrow{CP}\)=\(\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}\). Chứng minh 3 điểm M,N,P thẳng hàng

Answer 1

\(\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AN}=-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\)

\(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{CP}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{5}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)\)

\(=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{5}\overrightarrow{AC}=-\frac{1}{5}\overrightarrow{AB}+\frac{8}{15}\overrightarrow{AC}=\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

\(\Rightarrow\overrightarrow{NP}=\frac{4}{5}\overrightarrow{MN}\Rightarrow M;N;P\) thẳng hàng