Cho tam giác ABC, lấy điểm E sao cho A là trung điểm của BE, điểm M ∈ AC sao cho AM = \(\frac{1}{3}\)AC. Tia BM cắt EC tại N.
a) Chứng minh: N là trung điểm của EC
b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm BM, CM. Chứng minh: AN//IK và AN = IK
c) Gọi H là trung điểm của BC. Chứng minh: 3 điểm E, M, H thẳng hàng
a) Ta có: AC là đường trung tuyến của BE (GT)
Hay: AC là đường trung tuyến của tam giác EBC
Lại có: \(AM=\frac{1}{3}AC\left(GT\right)\)
=> M là trọng tâm của tam giác EBC
=> BM là đường trung tuyến EC
Hay: BN là đường trung tuyến EC
=> N là trung điểm của EC
b) Có: AM + MC = AC
\(\Rightarrow\frac{1}{3}AC+MC=AC\)
\(\Rightarrow MC=AC-\frac{1}{3}AC=\left(1-\frac{1}{3}\right)AC=\frac{2}{3}AC\)
Lại có: K là trung điểm của MC (GT)
\(\Rightarrow MK=CK=MC:2=\frac{2}{3}AC:2=\frac{2}{3}.AC.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}AC\)
\(\Rightarrow MK=KC=AM\left(=\frac{1}{3}AC\right)\)
Ta có: M là trọng tâm của tam giác EBC (cmt)
\(\Rightarrow BM=\frac{2}{3}BN\)
Lại có: I là trung điểm của BM (GT)
\(\Rightarrow BI=IM=BM:2=\frac{2}{3}.BN.\frac{1}{2}=\frac{1}{3}BN\)
BM + MN = BN
\(\Rightarrow\frac{2}{3}BN+MN=BN\)
\(\Rightarrow MN=BN-\frac{2}{3}BN=\left(1-\frac{2}{3}\right)BN=\frac{1}{3}BN\)
\(\Rightarrow BI=IM=MN\left(=\frac{1}{3}BN\right)\)
Xét ΔAMN và ΔKMI ta cos:
AM = MK (cmt)
\(\widehat{AMN}=\widehat{IMK}\left(đối-đỉnh\right)\)
MN = MI (cmt)
=> ΔAMN = ΔKMI (c - g - c)
=> AN = IK (2 cạnh tương ứng)
Và: \(\widehat{ANM}=\widehat{MIK}\) (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này lại là 2 góc so le trong
=> AN // IK
c/ Ta có: M là trọng tâm của tam giác EBC (cmt)
=> EM là trung tuyến của BC
Lại có: H là trung điểm của BC
=> E, M, H thẳng hàng
cân tại A. (AC > BC). Gọi M là trung điểm của BC.
và AM vuông góc với BC.
