a) Xét ΔABC và ΔHBA có
\(\widehat{BAC}=\widehat{BHA}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{B}\) chung
Do đó: ΔABC∼ΔHBA(g-g)(1)
b) Xét ΔABC và ΔHAC có
\(\widehat{BAC}=\widehat{AHC}\left(=90^0\right)\)
\(\widehat{C}\) chung
Do đó: ΔABC∼ΔHAC(g-g)(2)
Từ (1) và (2) suy ra ΔHBA∼ΔHAC(t/c bắc cầu)
⇒\(\frac{HA}{HC}=\frac{BH}{AH}\)
\(\Rightarrow AH^2=BH\cdot CH\)(đpcm)
c) Xét tứ giác AMHN có
\(\widehat{NAM}=90^0\)(\(\widehat{BAC}=90^0,M\in AB,N\in AC\))
\(\widehat{ANH}=90^0\)(NH⊥AC)
\(\widehat{AMH}=90^0\)(HM⊥AB)
Do đó: AMHN là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
⇒Hai đường chéo AH và MN cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và bằng nhau(tính chất hình chữ nhật)
mà I là trung điểm của AH(gt)
nên I là trung điểm của MN
hay M,I,N thẳng hàng(đpcm)
