a) Áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác \(ABM;BCM;CAM:\)
\(MA+MB>AB\left(1\right)\)
\(MB+MC>BC\left(2\right)\)
\(MC+MA>AC\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow2\left(MA+MB+MC\right)>AB+BC+AC\)
\(\Rightarrow MA+MB+MC>\dfrac{AB+BC+AC}{2}\left(đpcm\right)\)
b) Kéo dài \(AM;BM;CM\) cắt \(BC;AC;AB\) tại \(D;E:F\)
Áp dụng bất đẳng thức tam giác vào tam giác \(ABD;MCD\)
\(AB+BD>AD\Rightarrow AB+BD>AM+MD\left(a\right)\)
\(MC< MD+DC\Rightarrow MD>MC-DC\left(b\right)\)
\(\left(a\right);\left(b\right)\Rightarrow AB+BD>AM+MC-DC\)
\(\Rightarrow AB+BD+DC>AM+MC\)
\(\Rightarrow AB+BC>AM+MC\left(1\right)\)
Tương tự :
\(BC+CA>MB+MA\left(2\right)\)
\(CA+AB>MC+MB\left(3\right)\)
\(\left(1\right)+\left(2\right)+\left(3\right)\Rightarrow2\left(AB+BC+CA\right)>2\left(MA+MB+MC\right)\)
\(\Rightarrow MA+MB+MC< AB+BC+CA\left(đpcm\right)\)
