Question

Cho tam giác ABC đêù, O là trọng tâm của tam giác . Gọi E, F, G lần lượt là các điểm đối xứng với điểm O qua trung điểm AB, BC, AC. Chứng minh lục giác AEBFCG là lục giác đều

Answer 1

ΔABC đều

mà O là trọng tâm

nên O là tâm đường tròn ngoại tiếp

=>OA=OB=OC;AO vuông góc BC; CO vuông góc AB;BO vuông góc AC

Xét tứ giác AOBE có

AB cắt OE tại trung điểm của mỗi đường

AO=OB

=>AOBE là hình thoi

=>AE=EB; góc EAO=2*góc OAB

Xét tứ giác AOCG có

AC cắt OG tại trung điểm của mỗi đường

AO=OC

=>AOCG là hình thoi

=>góc OAG=2*góc OAC;AG=GC

=>góc EAG=2*góc BAC=120 độ

góc EAO=1/2*góc EAG=60 độ

=>góc AEB=120 độ

=>góc AGC=120 độ

Xét tứ giác BOCF có

OF cắt BC tại trung điểm của mỗi đường

OB=OC

=>BOCF là hình thoi

=>OF vuông góc BC;góc BFC=góc BOC=120độ;FB=FC

=>A,O,F thẳng hàng

AOBE là hình thoi

=>AB vuông goc OE

=>C,O,E thẳng hàng

=>CE//BF

=>OE//BF

BOFC là hình thoi

=>góc OBF=180-120=60 độ; góc OCF=góc OBF=60 độ

Xét tứ giác EBFO có

EB//FO

EO//BF

=>EBFO là hình bình hành

=>góc EBF=2*góc OBF=120 độ; EB=BF

Xét tứ giác FOGC có

FO//GC

FC//GO

=>FOGC là hình bình hành

=>góc FCG=2*góc FCO=120 độ'FC=CG

=>AE=EB=BF=FC=CC=AG; góc EAG=góc AGC=góc GCF=góc CFB=góc FBE=góc BEA=120 độ

=>AEBFCG là lục giác đều