Đặt BC=a(cm)
=>a=6(cm)
ΔABC đều
mà BD là đường cao
nên D là trung điểm của AC
=>\(AD=DC=\frac{AC}{2}=\frac{a}{2}\)
ΔABC đều
mà CE là đường cao
nên E là trung điểm của AB
=>\(AE=EB=\frac{AB}{2}=\frac{a}{2}\)
ΔADB vuông tại D
=>\(DB^2+DA^2=AB^2\)
=>\(DB^2=a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{3a^2}{4}\)
=>\(DB=\frac{a\sqrt3}{2}\)
Xét ΔABC có
BD,CE là các đường trung tuyến
BD cắt CE tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(GD=\frac13BD=\frac13\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}\)
ΔADG vuông tại D
=>\(AD^2+DG^2=AG^2\)
=>\(AG^2=\left(\frac{a\sqrt3}{6}\right)^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2=a^2\cdot\frac{3}{36}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{12}+\frac{a^2}{4}=\frac{a^2}{3}\)
=>\(AG=\frac{a\sqrt3}{3}\)
Xét tứ giác AEGD có \(\hat{AEG}+\hat{ADG}=90^0+90^0=180^0\)
nên AEGD là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính AG
=>A,E,D,G cùng thuộc một đường tròn
Tâm là trung điểm của AG
Bán kính là \(\frac{AG}{2}=\frac{a\sqrt3}{3}:2=\frac{a\sqrt3}{6}=\frac{6\sqrt3}{6}=\sqrt3\)(cm)
