Xét tam giác ABM; tam giác ACM;tam giác BCM ta có:
\(\left\{{}\begin{matrix}AM+BM>AB\\AM+CM>AC\\BM+CM>BC\end{matrix}\right.\)(áp dụng bất đẳng thức tam giác)
\(\Rightarrow AM+BM+AM+CM+BM+CM>AB+AC+BC\)
\(\Rightarrow2\left(AM+BM+CM\right)>AB+AC+BC\)
\(\Rightarrow AM+BM+CM>\dfrac{AB+AC+BC}{2}\)(1)
Kéo dài tia BM cắt AC tại D.
Xét tam giác ABD ta có:
\(DB< AB+AD\)(áp dụng bđt tam giác)
\(\Rightarrow MB+MD< AB+AD\)(*)
Xét tam giác MDC ta có:
\(MC< DC+MD\)(áp dụng bđt tam giác)(**)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(MB+MD+MC< AB+AD+DC+MD\)
\(\Rightarrow MB+MC< AB+\left(AD+DC\right)\)
\(\Rightarrow MB+MC< AB+AC\)
Chứng minh tương tự ta được:
\(MA+MB< AC+BC;MA+MC< AB+BC\)
Cộng theo từng vế ba bất đẳng thức trên rùi suy ra:
\(MA+MB+MC< AB+AC+BC\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
\(\dfrac{AB+AC+BC}{2}< MA+MB+MC< AB+AC+BC\)
Vậy tổng khoảng cách tư M đến các đỉnh lớn hơn nửa chu vi nhỏ hơn chu vi của tam giác.(đpcm)
Chúc bạn học tốt!!!
