cho tam giác ABC có diện tích là S . Các điểm bất kì M,N,P lần lượt thuộc các cạnh AB,BC,CA thỏa mãn AM/MB =BN/NC=CP/PA=K >0 .Câu a, tính diện tích tam giác MNP theo S và K .Câu b,với giá trị nào của K thì diện tích tam giác MNP đạt GTNN .Tính GTNN đó theo S
nhờ các bạn và thầy cô giải giúp mình ạ , mình cảm ơn
a) \(\dfrac{AM}{MB}=k\Rightarrow\dfrac{MB}{AM}=\dfrac{1}{k}\Rightarrow\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{k+1}{k}\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{k}{k+1}\).
\(\dfrac{PC}{PA}=k\Rightarrow\dfrac{AC}{PA}=k+1\Rightarrow\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{1}{k+1}\)
\(\dfrac{S_{AMP}}{S_{ABC}}=\dfrac{AM}{AB}.\dfrac{AP}{AC}=\dfrac{k}{k+1}.\dfrac{1}{k+1}=\dfrac{k}{\left(k+1\right)^2}\Rightarrow S_{AMP}=\dfrac{S.k}{\left(k+1\right)^2}\)
Tương tự và suy ra: \(S_{AMP}=S_{BMN}=S_{CNP}=\dfrac{S.k}{\left(k+1\right)^2}\).
\(S_{MNP}=S-3S_{AMP}=S-\dfrac{3S.k}{\left(k+1\right)^2}=S\left(1-\dfrac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)\)
b) \(k>0\)
\(S_{MNP}=S\left(1-\dfrac{3k}{\left(k+1\right)^2}\right)=S\left(\dfrac{k^2+2k+1-3k}{\left(k+1\right)^2}\right)=S\left(\dfrac{k^2-k+1}{k^2+2k+1}\right)=S\left[\dfrac{\dfrac{3}{4}\left(k^2-2k+1\right)+\dfrac{1}{4}\left(k^2+2k+1\right)}{k^2+2k+1}\right]=S.\left[\dfrac{3.\left(k-1\right)^2}{4.\left(k+1\right)^2}+\dfrac{1}{4}\right]\ge\dfrac{1}{4}S\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow k=1\) \(\Leftrightarrow\) M, N, P lần lượt là trung điểm của AB,BC,CA.
Vậy \(Min\left(S_{MNP}\right)=\dfrac{S}{4}\)
