Chương II - Đường tròn

๖ۣۜĐặng♥๖ۣۜQuý

cho tam giác ABC có BC=a;AC=b; AB=c. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Đường vuông góc với CI tại I cắt AC, BC theo thứ tự tại M,N.

c/m: a) \(AM.BN=IM^2=IN^2\)

b) \(\dfrac{IA^2}{bc}+\dfrac{IB^2}{ac}+\dfrac{IC^2}{ab}=1\)

câu a mình ra rồi giúp mình câu b nhá :))

Phương Ann
21 tháng 2 2018 lúc 15:23

Đường tròn

Câu a:

Xét ΔICM vuông tại I và ΔICN vuông tại I có:

• IC chung
\(\widehat{ICM}=\widehat{ICN}\left(\text{do IC là tia phân giác của }\widehat{ACB}\right)\)

⇒ ΔICM ∼ ΔICN (g - c - g)

⇒ • IM = IN
\(\widehat{IMC}=\widehat{INC}\)

\(\widehat{IMC}+\widehat{IMA}=\widehat{INC}+\widehat{INB}\left(=180^0\right)\)

\(\widehat{IMA}=\widehat{INB}\)

\(\widehat{IMA}+\widehat{A_2}+\widehat{I_1}=\widehat{INB}+\widehat{B_2}+\widehat{I_2}\left(=180^0\right)\)

\(\widehat{A_2}+\widehat{I_1}=\widehat{B_2}+\widehat{I_2}\) (1)

Mặt khác, ΔIAB có: \(\widehat{A_1}+\widehat{B_1}=180^0-\widehat{I_3}=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}\)

mà • \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\left(\text{do IA là tia phân giác của }\widehat{BAC}\right)\)
\(\widehat{B_1}=\widehat{B_2}\left(\text{do IB là tia phân giác của }\widehat{ABC}\right)\)

nên \(\widehat{A_2}+\widehat{B_2}=\widehat{I_1}+\widehat{I_2}\) (2)

Trừ (1) và (2) vế theo vế, suy ra \(\widehat{I_1}-\widehat{B_2}=\widehat{B_2}+\widehat{I_1}\)

\(2\widehat{I_1}=2\widehat{B_2}\)

\(\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\)

\(\widehat{IMA}=\widehat{INB}\)

⇒ ΔIMA ∼ ΔBNI (g - g)

⇒ AM . BN = IM . IN = IM2 = IN2 (do IM = IN)

Bình luận (0)
Phương Ann
21 tháng 2 2018 lúc 15:40

Câu b:

Ta có: \(\widehat{I_3}+\widehat{I_1}+\widehat{I_2}=\widehat{IMA}+\widehat{I_1}+\widehat{A_2}\left(=180^0\right)\)

\(\widehat{I_2}=\widehat{A_2}\left(\Delta IMA\text{ ~ }\Delta BNI\right)\)

\(\widehat{I_3}=\widehat{IMA}\)

\(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)

⇒ ΔIAB ∼ ΔMAI (g - g) ∼ ΔNIB

⇒ • IA2 = AM . AB
• IB2 = NB . AB

Đặt \(P=\dfrac{IA^2}{AB\times AC}+\dfrac{IB^2}{AB\times BC}+\dfrac{IC^2}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM\times AB}{AB\times AC}+\dfrac{NB\times AB}{AB\times BC}+\dfrac{CM^2-IM^2}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM}{AC}+\dfrac{NB}{BC}+\dfrac{CM^2-AM\times NB}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AM\times BC+NB\times AC+CM\times CN-AM\times NB}{AC\times BC}\)
(do CM = CN vì ΔICM = ΔICN)

\(=\dfrac{AM\times CN+NB\times AC+CM\times CN}{AC\times BC}\)

\(=\dfrac{AC\times CN+NB\times AC}{AC\times BC}=1\)

Vậy ta có đpcm.

Bình luận (0)
๖ۣۜĐặng♥๖ۣۜQuý
20 tháng 2 2018 lúc 20:14

hình :

Đường tròn

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
tthnew
Xem chi tiết
long
Xem chi tiết
Do Myeong
Xem chi tiết
Thanh Hân
Xem chi tiết
Mai Phạm Gia Huy
Xem chi tiết
Hoàng Nhật
Xem chi tiết
Hoàng Ngọc Anh
Xem chi tiết
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Nguyễn hoàng anh khoa 9B
Xem chi tiết