1) Xét hai tam giác vuông: ∆CDH và ∆ADB có:
∠DCH = ∠DAB (cùng phụ ABC)
⇒ ∆CDH ∽ ∆ADB (g-g)
2) ∆ABC có:
AB = AC = 50 cm (gt)
⇒ ∆ABC cân tại A
Mà AD là đường cao của ∆ABC (gt)
⇒ AD cũng là đường trung tuyến của ∆ABC
⇒ D là trung điểm của BC
⇒ BD = DC : 2 = 60 : 2 = 30 (cm)
∆ADB vuông tại D
⇒ AB² = AD² + BD² (Pythagore)
⇒ AD² = AB² - BD²
= 50² - 30²
= 1600
⇒ AD = 40 (cm)
Do ∆CDH ∽ ∆ADB (cmt)
⇒ CD/AD = CH/AB
⇒ CH = CD . AB : AD
= 30 . 50 : 40
= 37,5 (cm)
∆CHD vuông tại D
⇒ CH² = CD² + HD² (Pythagore)
⇒ HD² = CH² - CD²
= 37,5² - 30²
= 506,25
⇒ HD = 22,5 (cm)
⇒ AH = AD - HD
= 40 - 22,5
= 17,5 (cm)
Xét hai tam giác vuông: ∆CDH và ∆AEH có:
∠AHD = ∠AHE (đối đỉnh)
⇒ ∆CDH ∽ ∆AEH (g-g)
⇒ CH/AH = DH/EH = CD/AE
⇒ EH = AH . DH : CH
= 17,5 . 22,5 : 37,5
= 10,5 (cm)
⇒ CE = CH + EH = 37,5 + 10,5 = 48 (cm)
Ta có:
⇒ CD/AE = CH/AH (cmt)
⇒ AE = CD . AH : CH
= 30 . 17,5 : 37,5
= 14 (cm)
⇒ EB = AB - AE = 50 - 14 = 36 (cm)
3) Chu vi ∆AHC:
P = AH + AC + HC
= 17,5 + 50 + 37,5
= 105 (cm)
Diện tích ∆BEH:
S₁ = BE . EH : 2
= 36 . 10,5 : 2
= 189 (cm²)
Diện tích ∆BDH:
S₂ = BD . DH : 2
= 30 . 22,5 : 2
= 337,5 (cm²)
Diện tích tứ giác BEHD:
S = S₁ + S₂
= 189 + 337,5 = 526,5 (cm²)
