cho tam giác ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R các đường cao AD BF CE cắt nhau tại H
a. CM tứ giác BEHD nội tiếp .
b.Kéo dài AD tại đường tròn tâm O điểm thứ 3 là K. Kéo dài KE tại điểm t2 là I. gọi N là giao điểm của CI và EF cm CE^2 =CN.CI Kẻ OM vuông BC tại M .
c.Gọi P tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF . CM 3 điểm M,N,P thẳng hàng (làm ý C thôi ạ )
c.
Ta có: \(\overline{AEH}=\overline{AFH}=90^{o}\) ( H là trực tâm )
\(\rarr\) A,E,F,H cùng thuộc 1 đường tròn
P là tâm đường tròn ngoại tiếp -> P là trung điểm AH
Ta có: \(CE^2=CN.CI\) ( cmt ) (1)
kẻ EG vuông AC
Xét tam giác EAG vuông E: \(CE^2=CG.CA\) (2)
\(\left(1\right),\left(2\right)\to\frac{CN}{CG}=\frac{CA}{CI}\) ; C chung
Tam giác CNG đồng dạng tam giác CIA ( c.g.c )
\(\overline{CGN}=\overline{CIA}\) ; mà \(\overline{CIA}=\overline{CBA}\) ( cùng chắn cung CA )
\(\overline{CBA}=\overline{AFE}\) ( tam giác đồng dạng )
\(\to\overline{CGN}=\overline{AFE}\)
\(\to\) tam giác NGF cân tại N
Ta có: \(\overline{EGN}+\overline{NGF}=90^{o}\) \(\to\overline{EGN}+\overline{NFG}=90^{o}\)
Mà \(\overline{NEG}+\overline{NFG}=90^{o}\) ( tam giác vuông tại G )
\(\to\overline{NEG}=\overline{EGN}\)
Tam giác NEG cân tại N
\(\to NE=NF\left(=NG\right)\)
N là trung điểm EF
Mà OM là trung điểm BC ( t/c đường tròn )
Xét tam giác BEC và BFC vuông tại E và F
\(MB=MC=ME=MF\)
Mà \(NE=NF,PE=PF\) ( tứ giác AEHF nội tiếp, P nằm trên đường kính AH )
\(\to P,N,M\) thuộc đường trung trực EF
Vậy M,N,P thẳng hàng
