a) Sửa đề: Chứng minh ΔAEB∼ΔAFC
Xét ΔAEB vuông tại E và ΔAFC vuông tại F có
\(\widehat{A}\) chung
Do đó: ΔAEB∼ΔAFC(g-g)
b) Xét ΔBAD vuông tại D và ΔBCF vuông tại F có
\(\widehat{FBC}\) chung
Do đó: ΔBAD∼ΔBCF(g-g)
\(\Rightarrow\frac{BA}{BC}=\frac{BD}{BF}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
\(\Rightarrow\frac{BD}{BF}=\frac{BA}{BC}\)
hay \(\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}\)
Xét ΔBDF và ΔBAC có
\(\frac{BD}{BA}=\frac{BF}{BC}\)(cmt)
\(\widehat{FBD}\) chung
Do đó: ΔBDF∼ΔBAC(c-g-c)
⇒\(\frac{FD}{CA}=\frac{BD}{BA}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
⇒\(FD\cdot BA=CA\cdot BD\)(3)
Ta có: AD⊥BC(gt)
\(\Leftrightarrow\widehat{ADC}=\widehat{HDB}\left(=90^0\right)\)
Ta có: ΔDHB vuông tại D(HD⊥BC)
nên \(\widehat{HBD}+\widehat{BHD}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau) \(\Leftrightarrow\widehat{BHD}=90^0-\widehat{HBD}\)
hay \(\widehat{BHD}=90^0-\widehat{EBC}\)(1)
Ta có: ΔEBC vuông tại E(BE⊥AC)
nên \(\widehat{EBC}+\widehat{ECB}=90^0\)(hai góc nhọn phụ nhau)
hay \(\widehat{ECB}=90^0-\widehat{EBC}\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{BHD}=\widehat{ECB}\)
hay \(\widehat{BHD}=\widehat{ACD}\)
Xét ΔBHD vuông tại D và ΔACD vuông tại D có
\(\widehat{BHD}=\widehat{ACD}\)(cmt)
Do đó: ΔBHD∼ΔACD(g-g)
⇒\(\frac{BH}{AC}=\frac{BD}{AD}\)(hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)
hay \(\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BH}\)
hay \(AD\cdot HB=AC\cdot BD\)(4)
Từ (3) và (4) suy ra \(AD\cdot HB=AB\cdot DF\)(đpcm)
