Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC, H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên FC sao cho FI = AH. Chứng minh: a) OC vuông góc với FH. b) Tam giác OAI là tam giác cân. c) Tam giác BAI là tam giác cân.
a: Xét ΔCFO vuông tại F và ΔCHO vuông tại H có
CO chung
\(\hat{FCO}=\hat{HCO}\)
Do đó: ΔCFO=ΔCHO
=>CF=CH và OF=OH
CF=CH nên C nằm trên đường trung trực của FH(1)
OF=OH nên O nằm trên đường trung trực của FH(2)
Từ (1),(2) suy ra CO là đường trung trực của FH
=>CO⊥HF
b: Xét ΔOFI vuông tại F và ΔOHA vuông tại H có
OF=OH
FI=AH
Do đó: ΔOFI=ΔOHA
=>OI=OA
=>ΔOAI cân tại O
c: Xét ΔABC có
AO,CO là các đường phân giác
AO cắt CO tại O
Do đó: O là tâm đường tròn nội tiếp ΔABC
=>BO là phân giác của góc ABC
Kẻ OK⊥AB tại K
Xét ΔBKO vuông tại K và ΔBFO vuông tại F có
BO chung
góc KBO=góc FBO
Do đó: ΔBKO=ΔBFO
=>BK=BF
Xét ΔAKO vuông tại K và ΔAHO vuông tại H có
AO chung
\(\hat{KAO}=\hat{HAO}\)
Do đó: ΔAKO=ΔAHO
=>AK=AH
mà AH=FI
nên AK=FI
Ta có: BF+FI=BI
BK+KA=BA
mà BF=BK và FI=KA
nên BI=BA
=>ΔBAI cân tại B
