Cho tam giác ABC cân tại A. Từ 1 điểm D trên cạnh đáy BC ta kẻ đường thẳng vuông hóc với BC, đường này cắt cạnh AC tại F và cắt tia BA tại điểm E. Dựng các hình chữ nhật BDEH và CDFK.
a. Chứng minh 3 điểm A,H,K thẳng hàng
b. Chứng minh A là trung điểm cạnh HK
c.Gọi I,J theo thứ tự là giao điểm của các đường chéo của hình chữ nhật BDEH và CDFK. Khi điểm D di chuyển trên cạnh BC thì trung điểm M của IJ di chuyển trên đường nào?
a) Ta thấy \(\widehat{BDI}=\widehat{BCA}\left(=\widehat{IBD}\right)\), suy ra ID // AJ
Tương tự DJ // IA. Vậy tứ giác AIDJ là hình bình hành hay AJ song song và bằng ID.
Từ đó suy ra AJ cũng song song và bằng HI hay AHIJ là hình bình hành. Vậy thì HA // IJ (1)
Xét tam giác HDK có IJ là đường trung bình nên HK // IJ (2)
Từ (1) và (2) suy ra H, A, K thẳng hàng.
b) Ta thấy do AHIJ là hình bình hành nên IJ = AH. Lại có \(IJ=\frac{HK}{2}\Rightarrow HA=\frac{HK}{2}\)
Vậy A là trung điểm của HK.
c) Do AIDJ là hình bình hành nên trung điểm IJ cũng là trung điểm AD.
Vậy khi D thay đổi, M luôn là trung điểm AD. Nói cách khác, khi M thay đổi M sẽ di chuyển trên đường trung bình ứng với đáy BC của tam giác ABC.
