Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm M, trên cạnh AC kéo dài lấy điểm N sao cho CN=BM. Gọi H,K lầm lượt là hình chiếu của M,N trên BC,MN cắt BC tại I. Chứng minh:
a)MH=NK
b) I là trung điểm của MN.
c)Chứng minh khi M di chuyển trên AB thì đường trung trực của MN luôn đi qua 1 điểm cố định.
a) Ta có: \(\widehat{NCK}=\widehat{ACB}\) (đối đỉnh)
Xét 2 tam giác vuông ΔBHM và ΔCKN ta có:
Cạnh huyền: BM = CN (GT)
\(\widehat{MBH}=\widehat{NCK}\left(=\widehat{ACB}\right)\)
=> ΔBHM = ΔCKN (c.h - g.n)
=> MH = NK (2 cạnh tương ứng)
b) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}MH\perp BC\\NK\perp BC\end{matrix}\right.\left(GT\right)\)
=> MH // NK
\(\Rightarrow\widehat{HMI}=\widehat{KNI}\) (2 góc so le trong)
Xét ΔMHI và ΔNKI ta có:
\(\widehat{MHI}=\widehat{NKI}\left(=90^0\right)\)
MH = NK (cmt)
\(\widehat{HMI}=\widehat{KNI}\left(cmt\right)\)
=> ΔMHI = ΔNKI (g - c - g)
=> MI = NI (2 cạnh tương ứng)
=> I là trung điểm của MN
