Question

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi M là trung điểm của BC.

a. C/m AM vuông góc BC

b. Kẻ ME vuông góc AB tại E, MF vuông góc AC tại F. C/m tam giác EMF cân tại M.

c. C/m EF // BC

Answer 1

a) Xét △AMB và △AMC có:

AB = AC (△ABC cân)

AM: chung

MB = MC (M: trung điểm BC)

=> △AMB = △AMC (c.c.c)

=> AMB = AMC (2 góc tương ứng)

Mà AMB + AMC = 180^o (kề bù)

=> 2AMB = 2AMC = 180^o

=> AMB = AMC = 180^o : 2 = 90^o

=> AM \(\perp\)BC (đpcm)

b) Xét △MBE và MCF có:

MEB = MFC ( = 90^o)

MB = MC (M: trung điểm BC)

EBM = FCM (△ABC cân)

=> △MBE = △MCF (ch-gn)

=> ME = MF (2 cạnh tương ứng)

=> △EMF cân tại M (đpcm)

c) Vì △MBE và △MCF => BE = CF

Ta có:

AB = AE + EB

AC = AF + FC

Mà AB = AC (△ABC cân) và EB = FC (cmt)

=> AE = AF

=> △AEF cân tại A

=> AEF = \(\frac{180^o-A}{2}\)(1)

Vì △ABC cân tại A

=> ABC = \(\frac{180^o-A}{2}\)(2)

Từ (1) và (2) => AEF = ABC

Mà hai góc này ở vị trí so le trong

=> EF // BC (đpcm)