Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AM ( M thuộc BC ). Gọi O là trung điểm của AC, K là điểm đối xứng với M qua O. a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao? b) Gọi N là trung điểm của AB. Tứ giác ANMO là hình gì? c) Biết AB = 5cm, BC = 6cm. Tính diện tích tứ giác AMCK. d) Tam giác ABC cần có thêm điều kiện gì để tứ giác AMCK là hình vuông?
a: Sửa đề: AMCK là hình gì?
Xét tứ giác AMCK có
O là trung điểm chung của AC và MK
=>AMCK là hình bình hành
Hình bình hành AMCK có \(\hat{AMC}=90^0\)
nên AMCK là hình chữ nhật
b: ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của BC
Xét ΔABC có
M,O lần lượt là trung điểm của CB,CA
=>MO là đường trung bình của ΔABC
=>MO//AB và \(MO=\frac{AB}{2}\)
MO//AB nên MO//AN
\(MO=\frac{AB}{2}\)
\(AN=NB=\frac{AB}{2}\)
Do đó: MO=AN=NB
Ta có: \(AN=\frac{AB}{2}\)
\(AO=\frac{AC}{2}\)
mà AB=AC
nên AN=AO
Xét tứ giác ANMO có
MO//AN
MO=AN
Do đó: ANMO là hình bình hành
Hình bình hành ANMO có AN=AO
nên ANMO là hình thoi
c: ΔABC cân tại A
mà AM là đường cao
nên M là trung điểm của BC
=>\(MB=MC=\frac{BC}{2}=3\left(\operatorname{cm}\right)\)
ΔAMC vuông tại M
=>\(AM^2+MC^2=AC^2\)
=>\(AM^2=5^2-3^2=25-9=16=4^2\)
=>AM=4(cm)
AMCK là hình chữ nhật
=>\(S_{AMCK}=AM\cdot MC=4\cdot3=12\left(\operatorname{cm}^2\right)\)
d: Hình chữ nhật AMCK trở thành hình vuông khi AM=MC
=>\(AM=\frac{BC}{2}\)
Xét ΔABC có
AM là đường trung tuyến
\(AM=\frac{BC}{2}\)
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{BAC}=90^0\)
