Câu hỏi của Phongg

Question

Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH. Kẻ HN vuông góc AB, I là trung điểm của AN. Trên tia đối của tia BH lấy M sao cho B là trung điểm của MH.

Chứng minh rằng: MN vuông góc HI.

Đỗ Hồng Quân · Accepted Answer

1. Xác định các yếu tố: $B$ là trung điểm của $MH$ (gt) $\Rightarrow MB = BH$. $I$ là trung điểm của $AN$ (gt) $\Rightarrow AI = IN$. 2. Chứng minh $\triangle AHN \sim \triangle MBA$: $\angle AHN = \angle MBA = 90^\circ$. $\angle ANH = \angle BAM$ (cùng phụ với $\angle HAN$). Vậy $\triangle AHN \sim \triangle MBA$ (g.g). Suy ra $\frac{AH}{MB} = \frac{AN}{BA}$ hay $\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}$ (vì $MB = BH$). 3. Chứng minh $\triangle AHB \sim \triangle ANM$: $\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}$ (cmt). $\angle HAB = \angle NAM$ (cùng góc). Vậy $\triangle AHB \sim \triangle ANM$ (c.g.c). Suy ra $\angle ABH = \angle AMN$. 4. Chứng minh $MN \perp HI$: Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $HI$. Ta có: $\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ$ (do $\triangle AHB$ vuông tại $H$). Mà $\angle ABH = \angle AMN$ (cmt) $\Rightarrow \angle AMN + \angle BAH = 90^\circ$. Lại có $\angle BAH = \angle HIK$ (cùng phụ với $\angle AHI$ trong tam giác vuông $AHI$). $\Rightarrow \angle AMN + \angle HIK = 90^\circ$. Xét tam giác $MKI$, ta có: $\angle AMN + \angle HIK + \angle MKI = 180^\circ$. $\Rightarrow 90^\circ + \angle MKI = 180^\circ$ $\Rightarrow \angle MKI = 90^\circ$. Vậy $MN \perp HI$. Câu trả lời: 1. Xác định các yếu tố: $B$ là trung điểm của $MH$ (gt) $\Rightarrow MB = BH$. $I$ là trung điểm của $AN$ (gt) $\Rightarrow AI = IN$. 2. Chứng minh $\triangle AHN \sim \triangle MBA$: $\angle AHN = \angle MBA = 90^\circ$. $\angle ANH = \angle BAM$ (cùng phụ với $\angle HAN$). Vậy $\triangle AHN \sim \triangle MBA$ (g.g). Suy ra $\frac{AH}{MB} = \frac{AN}{BA}$ hay $\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}$ (vì $MB = BH$). 3. Chứng minh $\triangle AHB \sim \triangle ANM$: $\frac{AH}{BH} = \frac{AN}{BA}$ (cmt). $\angle HAB = \angle NAM$ (cùng góc). Vậy $\triangle AHB \sim \triangle ANM$ (c.g.c). Suy ra $\angle ABH = \angle AMN$. 4. Chứng minh $MN \perp HI$: Gọi $K$ là giao điểm của $MN$ và $HI$. Ta có: $\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ$ (do $\triangle AHB$ vuông tại $H$). Mà $\angle ABH = \angle AMN$ (cmt) $\Rightarrow \angle AMN + \angle BAH = 90^\circ$. Lại có $\angle BAH = \angle HIK$ (cùng phụ với $\angle AHI$ trong tam giác vuông $AHI$). $\Rightarrow \angle AMN + \angle HIK = 90^\circ$. Xét tam giác $MKI$, ta có: $\angle AMN + \angle HIK + \angle MKI = 180^\circ$. $\Rightarrow 90^\circ + \angle MKI = 180^\circ$ $\Rightarrow \angle MKI = 90^\circ$. Vậy $MN \perp HI$.

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)