Question

Cho tam giác ABC cân tạ a có trung tuyến ad. Tia phân giác của góc adn cắt ab tại m, tia phân giác của góc adc cắt ac tại n. a) chứng minh mn song song bc.  b) gọi I là giao điểm của AD và mn. Chứng minh I là trung điểm của mn.   c) Tính độ dài cạnh Mn, biết BC=24cm, ad=9cm

Answer 1

 

a: Xét ΔADB có DM là đường phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{DB}\)

mà DB=DC

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{DC}\left(1\right)\)

Xét ΔADC có DN là đường phân giác

nên \(\dfrac{AN}{NC}=\dfrac{AD}{DC}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

Xét ΔABC có \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AN}{NC}\)

nên MN//BC

b: Xét ΔABD có MI//BD

nên \(\dfrac{MI}{BD}=\dfrac{AI}{AD}\left(3\right)\)

Xét ΔADC có IN//DC

nên \(\dfrac{IN}{DC}=\dfrac{AI}{AD}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\dfrac{MI}{BD}=\dfrac{NI}{DC}\)

mà BD=DC(D là trung điểm của BC)

nên MI=NI

=>I là trung điểm của MN

c: ΔABC cân tại A

mà AD là đường trung tuyến

nên AD\(\perp\)BC tại D

D là trung điểm của BC

=>\(DB=DC=\dfrac{BC}{2}=\dfrac{24}{2}=12\left(cm\right)\)

ΔADB vuông tại D

=>\(DA^2+DB^2=AB^2\)

=>\(AB=\sqrt{12^2+9^2}=15\left(cm\right)\)

Xét ΔADB có DM là đường phân giác

nên \(\dfrac{AM}{MB}=\dfrac{AD}{DB}=\dfrac{12}{9}=\dfrac{4}{3}\)

=>\(\dfrac{AM}{4}=\dfrac{MB}{3}\)

mà AM+MB=AB=15cm

nên Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta được:

\(\dfrac{AM}{4}=\dfrac{MB}{3}=\dfrac{AM+MB}{4+3}=\dfrac{15}{7}\)

=>\(AM=\dfrac{15}{7}\cdot4=\dfrac{60}{7}\left(cm\right)\)

Xét ΔABC có MN//BC

nên \(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}\)

=>\(\dfrac{MN}{24}=\dfrac{60}{7}:15=\dfrac{4}{7}\)

=>\(MN=24\cdot\dfrac{4}{7}=\dfrac{96}{7}\left(cm\right)\)