Giả sử p và p + 2 là số nguyên tố lớn hơn 3. Khi đó p không chia hết cho 3. Áp dụng định lí phép chia có dư ta có p = 3q + 1 hoặc p = 3q + 2 với q nguyên dương. Vì p + 2 cũng là số nguyên tố nên không thể xảy ra p = 3q + 1 (vì nếu trái lại thì p + 2 = 3q + 1 + 2 = 3q + 3 là hợp số). Vậy p = 3q + 2, suy ra 3q = p - 2, suy ra q là ước của p - 2, vì p > 3 nên p lẻ, suy ra p -2 lẻ và do đó q lẻ. Khi đó ta có p + p + 2 = 2(p + 1) = 2(3q + 2 + 1) = 6(q + 1) chia hết cho 12 (vì q lẻ).
ta sẽ chứng minh bằng phản chứng
- giả sử p + p + 2 không chia hết cho 12 <> p + 1 không chia hết cho 6
<> p = 6n hoạc p = 6n + 1 .... hoạc p = 6n + 4
- với p = 6n ( n >= 1) => p là hợp số mâu thuẫn
- với p = 6n + 1 ( n >= 1) => p + 2 = 6n + 3 = 3(2n + 1) là hợp số => mâu thuẫn
- ....
- với p = 6n + 4 ( n>= 0) => p cũng là hợp số
Vậy p + 1 phải chia hết cho 6 hay p + p + 2 phải chia hết cho 12
