Nhận thấy \(x=0\) không phải là nghiệm, chia 2 vế của pt cho \(x^2\)
\(x^2+ax+1+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\)
\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+a\left(x+\frac{1}{x}\right)+1=0\)
Đặt \(x+\frac{1}{x}=t\Rightarrow\left|t\right|\ge2\) \(\Rightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2\)
Phương trình trở thành:
\(t^2-2+at+1=0\Leftrightarrow f\left(t\right)=t^2+at-1=0\) (1)
Do \(1.\left(-1\right)=-1< 0\Rightarrow\left(1\right)\) luôn có 2 nghiệm pb, để phương trình ban đầu có nghiệm \(\Rightarrow\left(1\right)\) có ít nhất 1 nghiệm thỏa mãn \(\left[{}\begin{matrix}t\ge2\\t\le-2\end{matrix}\right.\)
- Nếu pt (1) có 2 nghiệm sao cho \(-2< t_1< t_2< 2\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}f\left(-2\right)>0\\f\left(2\right)>0\\-2< \frac{t_1+t_2}{2}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3-2a>0\\3+2a>0\\-2< -\frac{a}{2}< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow-\frac{3}{2}< a< \frac{3}{2}\)
Vậy để pt có ít nhất một nghiệm \(\left|t\right|\ge2\) thì \(\left[{}\begin{matrix}a\le-\frac{3}{2}\\a\ge\frac{3}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow a^2\ge\frac{9}{4}\)
Chính xác nhất phải là \(a^2\ge\frac{9}{4}\), \(a^2>2\) chưa đủ chặt chẽ
