Question

Cho phương trình \(x^2-ax+b=0\) (1) có hai nghiệm nguyên dương phân biệt. Biết a, b là các số nguyên tố chứng minh \(a^2+b^2\) là một số nguyên tố

Answer 1

Giả sử 2 nghiệm của (1) là x₁ và x₂ với x₁ < x₂

Theo định lý Viet ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=a\\x_1x_2=b\end{matrix}\right.\)

Vì b là số nguyên tố, mà x₁ và x₂ nguyên dương nên x₁ = 1; x₂ = b

=> x₁ + x₂ = b + 1 = a

Dễ dàng nhận ra (3; 2) là 1 cặp số nguyên tố (a; b) thỏa mãn. Kể từ số nguyên tố 3 trở đi, tất cả các số nguyên tố đều cùng tính lẻ nên không có cặp (a;b) thỏa mãn b + 1 = a nên (3; 2) là cặp duy nhất thỏa mãn

Ta có a² + b² = 3² + 2² = 9 + 4 = 13 là 1 số nguyên tố