Question

Cho phương trình : \(x^2-2mx+2m-2=0\) (1)

Với \(x_1,x_2\) là hai nghiệm của phương trình (1), tìm GTLN của biểu thức \(A=\dfrac{6\left(x_1+x_2\right)}{x^2_1+x^2_2+4\left(x_1+x_2\right)}\)

Answer 1

Ta có \(\Delta\)'= \(\left(-m\right)^2-2m+2=\left(m-1\right)^2+1>0\veebar m\)

Vậy với mọi giá trị của m thì phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-ét ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2m\\x_1.x_2=\dfrac{c}{a}=2m-2\end{matrix}\right.\)

Thay giá trị của \(x_1+x_2\) và \(x_1.x_2\) vào biểu thức A ta được :

\(A=\dfrac{6.\left(x_1+x_2\right)}{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2+4\left(x_1+x_2\right)}=\dfrac{12m}{4m^2+4m+4}\)

\(A=\dfrac{3m}{m^2+m+1}\)

Cm: \(3m\le m^2+m+1\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)^2\ge0\) (luôn đúng ) (dấu = xảy ra khi x=1)

Do đó \(3m\le m^2+m+1\) khi đó ta được:

\(A=\dfrac{3m}{m+m+1}\le1\)

Vậy với GTLN của A = 1 khi và chỉ khi m=1