Question

Cho phương trình ẩn x: \(x^2-2x+m=0\)

Xác định giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2. Khi đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N= \(x_1^4+x_2^4-2x_1^3-2x_2^3+8m\)

Answer 1

Lời giải:

Để pt có hai nghiệm $x_1,x_2$ thì:

\(\Delta'=1-m>0\Leftrightarrow m< 1\)

Áp dụng định lý Viete cho pt bậc 2 ta có: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2\\ x_1x_2=m\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

\(N=x_1^4+x_2^4-2(x_1^3+x_2^3)+8m\)

\(=(x_1^2+x_2^2)^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)

\(=[(x_1+x_2)^2-2x_1x_2]^2-2(x_1x_2)^2-2[(x_1+x_2)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)]+8m\)

\(=(4-2m)^2-2m^2-2(8-6m)+8m\)

\(=2m^2+4m=2(m^2+2m+1)-2=(m+1)^2-2\geq -2\) với mọi $m< 1$

Do đó \(N_{\min}=-2\) khi \(m=-1\)