Question

Cho phương trình ẩn x:  x² - 2mx + m² - m + 3 = 0 (1)

Tìm m để A=(2x₂-1)x₁+(2x₁-1)x₂ đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

Pt có 2 nghiệm

\(\to \Delta=(-2m)^2-4.1.(m^2-m+3)=4m^2-4m^2+4m-12=4m-12\ge 0\\\leftrightarrow 4m\ge 12\\\leftrightarrow m\ge 3\)

Theo Viét

\(\begin{cases}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m^2-m+3\end{cases}\)

\( (2x_2-1)x_1+(2x_1-1)x_2\\=2x_1x_2-x_1+2x_1x_2-x_2\\=4x_1x_2-(x_1+x_2)\\=4.(m^2-m+3)-2m\\=4m^2-4m+12-2m\\=4m^2-6m+12\\=4\bigg(m^2-\dfrac{6}{4}m+3\bigg)\\=4\bigg(m^2-2.\dfrac{3}{2}.m+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}\bigg)\\=4\bigg(m-\dfrac{3}{2}\bigg)^2+3\ge 3\\\to\A_{\min}=3\\\to m-\dfrac{3}{2}=0\\\leftrightarrow m=\dfrac{3}{2}\)

Vậy \(A_{\min}=3\)