Question

Cho (O,R) và điểm H cố định nằm ngoài đường tròn. Qua H kẻ một đường thẳng d vuông góc với OH. Từ điểm M nằm trên đường thẳng d, kẻ tiếp tuyến MA, MB với (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi I, K lần lượt là giao điểm của AB với OM, OH.

a) CM: 4 điểm M, H, O, A cùng thuộc một đường tròn.

b) CM: OM vuông góc với AB và OH. OK = R².

c) Vẽ đường thẳng đi qua điểm O, vuông góc với OM, cắt MA, MB lần lượt tại P, Q. Tìm vị trí điểm M để diện tích tam giác MPQ nhỏ nhất?

Answer 1

a: Xét tứ giác OAMH có \(\hat{OAM}+\hat{OHM}=90^0+90^0=180^0\)

nên OAMH là tứ giác nội tiếp

=>O,A,M,H cùng thuộc một đường tròn

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO⊥AB tại I và I là trung điểm của AB

Xét ΔOIK vuông tại I và ΔOHM vuông tại H có

\(\hat{IOK}\) chung

Do đó: ΔOIK~ΔOHM

=>\(\frac{OI}{OH}=\frac{OK}{OM}\)

=>\(OI\cdot OM=OK\cdot OH\left(3\right)\)

Xét ΔOAM vuông tại A có AI là đường cao

nên \(OI\cdot OM=OA^2=R^2\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(OK\cdot OH=R^2\)