Cho (O) và điểm A nằm ngoài đường tròn ; từ A vẽ tiếp tuyến AB và AC ( B; C là hai tiếp điểm). Vẽ đường kính CD của (O) . Gọi H là giao điểm của AO và BC; M là giao điểm của AD và cung nhỏ BC. Chứng minh:
a) Tứ giác ABOC nội tiếp
b)BD//OA
c) Góc MAH= góc MCH
d) gọi N là giao điểm của BM với AO. Chứng minh N là trung điểm của AH
Lời giải:
a)
Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên
\(AB\perp OB, AC\perp OC\Rightarrow \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^0\)
\(\Rightarrow \widehat{ABO}+\widehat{ACO}=180^0\)
Tứ giác $ABOC$ có tổng hai góc đối bằng $180^0$ nên là tứ giác nội tiếp.
b)
Có \(\widehat{CBD}=90^0\) (góc nội tiếp chắn đường kính CD) hay \(BD\perp BC(1)\)
Theo tính chất tiếp tuyến: \(AB=AC\)
Lại có: \(OB=OC=R\)
Do đó $AO$ là đường trung trực của $BC$
\(\Rightarrow AO\perp BC(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow AO\parallel BD\)
c)
Vì \(OA\parallel BD\Rightarrow \widehat{MAH}=\widehat{MDB}\) (so le trong)
Mặt khác \(\widehat{MDB}=\widehat{MCB}=\widehat{MCH}\) (góc nội tiếp cùng chắn cung MB)
Suy ra \(\widehat{MAH}=\widehat{MCH}\) (đpcm)
d)
Theo phần c ta có \(\widehat{MAN}=\widehat{MAH}=\widehat{MDB}\)
Mà \(\widehat{MDB}=\widehat{ABN}\) (góc hợp bởi tiếp tuyến và một dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn dây cung đó)
\(\Rightarrow \widehat{MAN}=\widehat{ABN}\)
Tam giác $MAN$ và $ABN$ có:
\(\left\{\begin{matrix} \widehat{MAN}=\widehat{ABN}\\ \text{chung góc N}\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle MAN\sim \triangle ABN\)
\(\Rightarrow \frac{MN}{AN}=\frac{AN}{BN}\Rightarrow AN^2=NM.NB(*)\)
Lại có:
\(\widehat{MBH}=\widehat{MBC}=\widehat{ACM}\) (góc tạo bởi tiếp tuyến và một dây cung thì bằng góc nội tiếp chắn dây cung đó)
Theo kết quả phần c suy ra tứ giác $MHCA$ nội tiếp
\(\Rightarrow \widehat{ACM}=\widehat{AHM}=\widehat{NHM}\)
Do đó \(\widehat{MBH}=\widehat{NHM}\) hay \(\widehat{NBH}=\widehat{NHM}\)
\(\Rightarrow \triangle NHM\sim \triangle NBH(g.g)\)
\(\Rightarrow \frac{NH}{NM}=\frac{BN}{NH}\Rightarrow NH^2=NM.NB(**)\)
Từ \((*);(**)\Rightarrow NH=NA\Rightarrow N\) là trung điểm $AH$
