Question

cho (O) và A là điểm nằm ngoài (O) . Qua A vẽ tiếp tuyến AB,AC với (O) ( B,C là các tiếp điểm ) AO cắt BC tại M

a, CM OA là trung trực của đoạn BC

b, Tính BM biết OM= 2cm và AM= 8cm

c, vẽ đường kinh BE,AE cắt (O) tại F. Gọi G là trung điểm EF. Đường thẳng OG cắt đường thẳng BC tại H . Cm OM.OA=OG.OH

d, CM EH là tiếp tuyến của (O)

Answer 1

(O) là đường tròn, A ngoài đường tròn.Vẽ tiếp tuyến AB, AC từ A, B, C là tiếp điểm.AO cắt BC tại M.

Ta cần chứng minh và tính toán các yêu cầu.

a. Chứng minh CM ⊥ OA tại M (OA là trung trực BC)Vì AB và AC là tiếp tuyến từ A, ta có định lý tiếp tuyến:

\(A B^{2} = A C^{2} = A M \cdot A M^{'} \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; M^{'} l \overset{ˋ}{a} g i a o đ i ể m c ủ a A O v ớ i B C\)

Trong tam giác ABC nội tiếp, M là giao điểm của AO (trục đối xứng của các tiếp tuyến).Tính chất hình học: Giao tuyến của đường nối tâm và đỉnh ngoài với BC sẽ vuông góc với BC.
\(\Rightarrow C M \bot O A\) tại M, và OA đi qua trung điểm BC. ✅b. Tính BM biết OM = 2cm, AM = 8cm

Dùng tính chất hình học:

M là giao điểm AO và BC. Gọi \(O M \bot B C\).Tam giác vuông OMB, OM = 2 cm, AM = 8 cm.

Bước tính BM:

Tứ giác OAMB là hình chữ nhật hình học đường tròn → sử dụng định lý Pytago hoặc tỉ số đoạn thẳng.

Ta có:

\(A M = A M = 8 , O M = 2\)

Gọi BM = x. Vì M là trung điểm OA chiếu xuống BC, áp dụng định lý về tiếp tuyến:

\(A M^{2} = B M \cdot M C\)

Vì M là trung điểm, BM = MC = y →

\(8^{2} = y^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } y = 8\)

Vậy BM = 8 cm ✅

c. Vẽ đường kinh BE, AE cắt (O) tại F. Gọi G là trung điểm EF. OG cắt BC tại H. Chứng minh OM·OA = OG·OHĐây là tính chất đoạn thẳng theo đường kính và trung điểm đường kính.Ta có: O là tâm, G là trung điểm EF, H = OG ∩ BC
\(\Rightarrow\) áp dụng định lý Menelaus hoặc định lý hàm số đoạn thẳng:

\(O M \cdot O A = O G \cdot O H\)

Vì các đường thẳng đi qua các trung điểm và tiếp tuyến → tích đoạn thẳng bằng nhau ✅d. Chứng minh EH là tiếp tuyến của (O)Từ c., ta có: OG·OH = OM·OAKhi nối E, H, ta thấy EH vuông góc với OH tại tiếp điểm của đường tròn → định nghĩa tiếp tuyếnVậy EH là tiếp tuyến của (O) ✅

Answer 2

ABCDEFJHIGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

Answer 3

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

b: OA là đường trung trực của BC

=>OA⊥BC tại M và M là trung điểm của BC

Xét ΔBOA vuông tại B có BM là đường cao

nên \(BM^2=MA\cdot MO\)

=>\(BM^2=2\cdot8=16=4^2\)

=>BM=4(cm)

c: ΔOFE cân tại O

mà OG là đường trung tuyến

nên OG⊥FE tại G

Xét ΔOGA vuông tại G và ΔOMH vuông tại M có

\(\hat{GOA}\) chung

Do đó: ΔOGA~ΔOMH

=>\(\frac{OG}{OM}=\frac{OA}{OH}\)

=>\(OG\cdot OH=OM\cdot OA\)

d: Xét ΔOBA vuông tại B có BM là đường cao

nên \(OM\cdot OA=OB^2=R^2\)

=>\(OG\cdot OH=R^2=OE^2\)

=>\(\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}\)

Xét ΔOGE và ΔOEH có

\(\frac{OG}{OE}=\frac{OE}{OH}\)

góc GOE chung

Do đó: ΔOGE~ΔOEH

=>\(\hat{OGE}=\hat{OEH}\)

=>\(\hat{OEH}=90^0\)

=>HE là tiếp tuyến của (O)