cho nửa dường tròn tâm O đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các tiếp tuyến Ax,By với nửa đường tròn, từ điểm M tùy ý trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến tại M cắt Ax,By tại C và D
a) CMR tam giác OCD vuông
b)CMR AC.BD = \(\frac{AB^2}{4}\)
c) N là giao của BC và AD. K là giao của MN và AB. CM MN vuông góc AB và MN=NK( Ai trả lời 3 câu giúp em với ạ)
a: Xét (O) có
CA,CM là các tiếp tuyến
Do đó: CA=CM và OC là phân giác của góc MOA
OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
=>ΔOCD vuông tại O
b: Xét ΔOCD vuông tại O có OM là đường cao
nên \(MC\cdot MD=OM^2\)
mà MC=CA và DM=DB
nên \(AC\cdot DB=OM^2=R^2=\frac{AB^2}{4}\)
c: Xét ΔNCA và ΔNBD có
\(\hat{NCA}=\hat{NBD}\) (hai góc so le trong, CA//BD)
\(\hat{CNA}=\hat{BND}\) (hai góc đối đỉnh)
Do đó: ΔNCA~ΔNBD
=>\(\frac{NC}{NB}=\frac{NA}{ND}=\frac{AC}{BD}=\frac{CM}{MD}\)
Xét ΔCDB có \(\frac{CN}{NB}=\frac{CM}{MD}\)
nên MN//BD
mà BD⊥BA
nên MN⊥BA
Gọi E là giao điểm của MB và AC
Xét (O) có
ΔAMB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔAMB vuông tại M
=>AM⊥BE tại M
=>ΔAME vuông tại M
Ta có: \(\hat{CAM}+\hat{CEM}=90^0\) (ΔAME vuông tại M)
\(\hat{CMA}+\hat{CME}=\hat{AME}=90^0\)
mà \(\hat{CAM}=\hat{CMA}\) (ΔCAM cân tại C)
nên \(\hat{CEM}=\hat{CME}\)
=>CE=CM
mà CM=CA
nên CE=CA(1)
Ta có: MK//DB
AC//BD
Do đó: MK//AC
Xét ΔBAC có NK//AC
nên \(\frac{NK}{AC}=\frac{BN}{BC}\left(2\right)\)
Xét ΔBEC có MN//EC
nên \(\frac{MN}{EC}=\frac{BN}{BC}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3) suy ra NK=MN
