cho nửa đường tròn tâm O bán kính r đường kính BC. A nằm trên đường tròn, kẻ AH vuông góc với BC gọi I và K lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. đường thẳng IK và tia CA cắt tiếp tuyến kẻ từ B của đường tròn lần lượt tại M và N .gọi e là giao của IH và AB gọi F là giao KH và AC a) chứng minh I,A,K thẳng hàng và IK là tiếp tuyến của (O) b)chưngs minh: 1/BH bình= 1/AB bình +1/AN bình
a: I đối xứng H qua AB
=>AB là đường trung trực của IH
=>AI=AH và BI=BH
H đối xứng K qua AC
=>AC là đường trung trực của HK
=>AH=AK và CH=CK
Xét ΔAIB và ΔAHB có
AI=AH
BI=BH
AB chung
Do đó: ΔAIB=ΔAHB
=>\(\hat{IAB}=\hat{HAB}\)
=>AB là phân giác của góc IAH
=>\(\hat{IAH}=2\cdot\hat{BAH}\)
Xét ΔAHC và ΔAKC có
AH=AK
CH=CK
AC chung
Do đó: ΔAHC=ΔAKC
=>\(\hat{HAC}=\hat{KAC}\)
=>AC là phân giác của góc HAK
=>\(\hat{HAK}=2\cdot\hat{HAC}\)
Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
=>\(\hat{BAC}=90^0\)
\(\hat{IAK}=\hat{IAH}+\hat{KAH}\)
\(=2\left(\hat{HAB}+\hat{HAC}\right)=2\cdot\hat{BAC}=2\cdot90^0=180^0\)
=>I,A,K thẳng hàng
Ta có: ΔAIB=ΔAHB
=>\(\hat{AIB}=\hat{AHB}\)
=>\(\hat{AIB}=90^0\)
=>BI⊥IK
ΔAHC=ΔAKC
=>\(\hat{AHC}=\hat{AKC}\)
=>\(\hat{AKC}=90^0\)
=>CK⊥IK
mà BI⊥IK
nên BI//CK
=>BIKC là hình thang
Ta có: AI=AH
AK=AH
Do đó: AI=AK
=>A là trung điểm của IK
Xét hình thang BIKC có
A,O lần lượt là trung điểm của IK,BC
=>AO là đường trung bình của hình thang BIKC
=>AO//BI//KC
=>AO⊥IK tại A
=>IK là tiếp tuyến tại A của (O)
