Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB .Từ A và B kẻ tiếp tuyến Ax và By với nửa đường tròn .Một góc vuông quay quanh O, hai cạnh của góc cắt Ax và By lần lượt tai C và D . hai đường thẳng OD và Ax cắt nhau tại E .Chứng minh
a) AC.BD=R ²
b) ΔCDE là tam giác cân
c) CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn
a) góc COD=90 => CO vuông góc ED
Xét tam giác AOE và BOD:
góc AOE = góc BOD (đối đỉnh)
AO = BO (O là tâm đường tròn có AB đường kính)
EAO=OBD(=90)
=>tam giác AOE và BOD bằng nhau (gcg)
=>AE=BD
tam giác OCE vuông tại O có AO đường cao
=>R2=AO2=AC.AE=AC.BD(htl)
b) tam giác AOE và BOD bằng nhau (cmt)
=>OE=OD
=>O là trung điểm DE
=> CO là trung tuyến tam giác CDE
mà CO là đường cao tam giác CDE (CO vuông góc DE)
=>tam giác CDE cân tại C
c) Kẻ OF vuông góc CD tại F
tam giác COD vuông tại O có OF đường cao
=>1/OF2=1/OC2+1/OD2=1/OC2+1/OE2 (htl) (1)
tam giác COE vuông tại O có OA đường cao:
=>1/R2=1/OA2=1/OC2+1/OE2(htl) (2)
Từ (1), (2)
=> OF = R
=>F thuộc (O)
Mà OF vuông góc CD tại F
=> CD là tiếp tuyến (O)
