Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Lấy một điểm M trên nửa đường tròn (O). Tiếp tuyến tại M của (O) cắt Ax, By lần lượt tại D, C tia AM, BM kéo dài cắt By, Ax lần lượt tại F, E.
1) Dựng MH ⊥ AB, chứng minh AC, BD đi qua trung điểm I của MH
2) Chứng minh: EO ⊥ AC
1) Ta có :
\(\widehat{AMB}=90^o\) (\(\widehat{AMB}\) chắn đường kính \(AB\))
\(\Rightarrow AM\perp BE\)
\(\Rightarrow\Delta MEA\) vuông tại \(M\)
mà \(AD=MD\) (\(AD;MD\) là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại \(D\))
\(\Rightarrow MD\) là trung tuyến \(AE\)
\(\Rightarrow AD=DE\)
Ta lại có : \(AE//MH//BC\left(cùng.vuông.AB\right)\)
Áp dụng định lý Thales cho \(\Delta ACB\&\Delta DCB\)
\(\dfrac{IH}{AD}=\dfrac{BI}{BD}\)
\(\dfrac{IM}{ED}=\dfrac{BI}{BD}\)
mà \(AD=DE\left(cmt\right)\)
\(\Rightarrow IH=IM\)
\(\Rightarrow I\) là trung điểm \(MH\)
\(\Rightarrow AC;BD\) đi qua trung điểm \(I\) của \(MH\left(đpcm\right)\)
