Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB chứa đường tròn, vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Trên nửa đường tròn, lấy điểm C bất kì. Vẽ tiếp tuyến (O) tại C cắt Ax, By lần lượt tại D và E.
a) Chứng minh rằng AD + BE = DE
b) AC cắt DO tại M, BC cắt OE tại N. Tứ giác CMON là hình gì? Vì sao?
c) Chứng minh rằng OM.OD + ON.OE không đổi
d) AN cắt CO tại điểm H. Điểm H di chuyển trên đường nào khi C di chuyển trên nửa đường tròn (O; R).
a) \(\Delta ODA=\Delta ODC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
suy ra \(DA=DC\).
\(\Delta OEB=\Delta OEC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
suy ra \(BE=CE\).
Do đó \(AD+BE=DC+CE=DE\).
b) \(DC=DA\) suy ra \(D\) thuộc đường trung trực của \(AC\).
\(OC=OA\) suy ra \(O\) thuộc đường trung trực của \(AC\).
Suy ra \(DO\) là đường trung trực của \(AC\) do đó \(OD\perp AC\).
Suy ra \(\widehat{OMC}=90^o\).
Tương tự ta cũng suy ra được \(\widehat{ONC}=90^o\).
Đường tròn tâm \(\left(O\right)\) đường kính \(AB\) nên \(\widehat{ACB}=90^o\).
Tứ giác \(CMON\) có \(\widehat{OMC}=\widehat{ACB}=\widehat{ONC}=90^o\) do đó \(CMON\) là hình bình hành.
c) Xét tam giác \(DAO\) vuông tại \(A\) đường cao \(AM\):
\(OM.OD=OA^2\) (hệ thức trong tam giác vuông)
Tương tự \(ON.OE=OB^2\).
Khi đó \(OM.OD+ON.OE=OA^2+OB^2=2R^2\).
d) Tam giác \(CAB\) có hai trung tuyến \(CO,AN\) cắt nhau tại \(H\) suy ra \(H\) là trọng tâm tam giác \(CAB\).
Suy ra \(OH=\dfrac{1}{3}OC=\dfrac{1}{3}R\) không đổi.
Vậy khi \(C\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left(O;R\right)\) thì \(H\) di chuyển trên nửa đường tròn \(\left(O;\dfrac{1}{3}R\right)\).
