Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và M là điểm nằm trên nửa đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A, B của (O) lần lượt tại C, D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F. a) Chứng minh COD ’ = 90◦. b) Hỏi tứ giác MEOF là hình gì? Vì sao? c) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
a: Xét (O) có
CM,CA là các tiếp tuyến
Do đó: CM=CA và OC là phân giác của góc MOA
OC là phân giác của góc MOA
=>\(\hat{MOA}=2\cdot\hat{MOC}\)
Xét (O) có
DM,DB là các tiếp tuyến
Do đó: DM=DB và OD là phân giác của góc MOB
OD là phân giác của góc MOB
=>\(\hat{MOB}=2\cdot\hat{MOD}\)
Ta có: \(\hat{MOA}+\hat{MOB}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{MOC}+\hat{MOD}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{COD}=180^0\)
=>\(\hat{COD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
b: ΔOAM cân tại O
mà OC là đường phân giác
nên OC⊥AM tại E
ΔOMB cân tại O
mà OF là đường phân giác
nên OF⊥BM tại F
Xét tứ giác MEOF có \(\hat{MEO}=\hat{MFO}=\hat{EOF}=90^0\)
nên MEOF là hình chữ nhật
c: Gọi K là trung điểm của CD
=>K là tâm đường tròn đường kính CD
ΔOCD vuông tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK=CD/2
=>O nằm trên đường tròn đường kính CD
Xét hình thang ACDB có
O,K lần lượt là trung điểm của AB,CD
=>OK là đường trung bình của hình thang ACDB
=>OK//AC//BD
=>OK⊥AB tại O
Xét (K) có
OK là bán kính
AB⊥KO tại O
Do đó: AB là tiếp tuyến của (K)
=>AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD
a) Do tiếp tuyến tại A vuông góc OA và tiếp tuyến tại M vuông góc OM nên AC song song OM, MC song song OA. Tương tự, BD song song OM và MD song song OB. Từ các quan hệ song song này suy ra đáp án đốc giác COD = 90°. b) Gọi E là giao điểm AM với OC, F là giao điểm BM với OD. Từ các cặp cạnh song song đã nêu để chứng minh E là trung điểm của AM, F là trung điểm của MB và O là trung điểm của AB. Như vậy M–E–O–F tạo thành hình bình hành. c) Từ câu a) ta có tam giác COD vuông tại O, do đó O nằm trên đường tròn đường kính CD. Tâm của đường tròn này là trung điểm CD nằm trên trục thẳng đứng qua O, vì vậy bán kính qua O vuông góc AB. Do AB đi qua O và vuông góc bán kính, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD tại O.
a) Do các tiếp tuyến tại A, B và M vuông góc với bán kính OA, OB, OM, ta có AC \parallel OM, MC \parallel OA; BD \parallel OM, MD \parallel OB. Suy ra tam giác COD vuông tại O, nên \angle COD = 90°. b) Gọi E = AM \cap OC, F = BM \cap OD. Từ các cặp cạnh song song trên cho thấy E là trung điểm AM, F là trung điểm MB, O là trung điểm AB. Do đó MEOF là hình bình hành. c) Từ a) suy ra O nằm trên đường tròn đường kính CD. Tâm đường tròn đó nằm trên trục thẳng đứng qua O, nên bán kính qua O vuông góc AB. Do AB đi qua O và vuông góc bán kính, AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.
