Cho nửa đường tròn (O) đường kinh AB. Lấy điểm C nằm trên đường tròn (O). Gọi K là trung điểm của dây cung BC. Qua B dựng tiếp tuyến với (O) cất OK tại D. a) Chứng minh rằng DO vuông góc BC và AABC vuông b) Chứng minh DC là tiếp tuyến của đường tròn (0) c) Về CH vuông góc AB tại H. Gọi I là trung điểm của CH. Tiếp tuyến tại A của đường tròn (0) cất BI tại E. Chứng minh E, C, D thẳng hàng.( ko dùng nội tiếp) ( mình cần trc 9 h) cảm ơn !
a: Ta có: ΔOBC cân tại O
mà OK là đường trung tuyến
nên OK⊥BC tại K
=>OD⊥BC
Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó:ΔACB vuông tại C
b: ΔOBC cân tại O
mà OD là đường cao
nên OD là phân giác của góc BOC
Xét ΔOBD và ΔOCD có
OB=OC
\(\hat{BOD}=\hat{COD}\) (OD là phân giác của góc BOC)
OD chung
Do đó: ΔOBD=ΔOCD
=>\(\hat{OBD}=\hat{OCD}\)
=>\(\hat{OCD}=90^0\)
=>CD là tiếp tuyến của (O)
b: Gọi F là giao điểm của CB và AE
=>ΔACF vuông tại C
Ta có: FA⊥BA
CH⊥BA
Do đó: FA//CH
Xét ΔBEA có IH//EA
nên \(\frac{IH}{EA}=\frac{BI}{BE}\left(1\right)\)
Xét ΔBEF có CI//EF
nên \(\frac{CI}{EF}=\frac{BI}{BE}\left(2\right)\)
Từ (1),(2) suy ra \(\frac{IH}{EA}=\frac{IC}{EF}\)
mà IH=IC
nên EA=EF
=>E là trung điểm của AF
ΔCFA vuông tại C
mà CE là đường trung tuyến
nên EA=EC
Xét ΔEAO và ΔECO có
EA=EC
AO=CO
EO chung
DO đó: ΔEAO=ΔECO
=>\(\hat{EAO}=\hat{ECO}=90^0\)
\(\hat{ECD}=\hat{ECO}+\hat{DCO}=90^0+90^0=180^0\)
=>E,C,D thẳng hàng
