Question

Cho nửa đường tròn đường kính AB và 1 đường thẳng vuông với AB tại H. M là điểm bất kì trên đường tròn . Đường thẳng vông với AB tại H giao với MA và MB tại C và D

a, CM :tứ giác HCMB nội tiếp

b, CM: \(HC\times HD=HA\times HB\)

c, Gọi B' là điểm đối xứng với B qua H . CM: tứ giác ACDB' nội tiếp

Answer 1

c)

Vì $B$ đối xứng với $B'$ qua $H$ nên $H$ là trung điểm của $BB'$. Đồng thời $DH$ cũng vuông góc với $BB'$ nên tam giác $DBB'$ cân tại $D$

\(\Rightarrow \widehat{DB'B}=\widehat{DBB'}\)

Mà \(\widehat{DBB'}=\widehat{MBH}=\widehat{DCM}\) (do tứ giác $HCMB$ nội tiếp)

Suy ra:

\(\widehat{DB'B}=\widehat{DCM}\) hay \(\widehat{DB'A}=180^0-\widehat{DCA}\Rightarrow \widehat{DB'A}+\widehat{DCA}=180^0\)

Do đó tứ giác $ACDB'$ nội tiếp

Ta có đpcm/

Answer 2

Lời giải:
Vì $M$ nằm trên đường tròn và $AB$ là đường kính nên \(\widehat{AMB}=90^0\Leftrightarrow \widehat{CMB}=90^0\)

Mà \(\widehat{CHB}=90^0\Rightarrow \widehat{CHB}+\widehat{CMB}=180^0\). Tứ giác $HCMB$ có hai góc đối có tổng bằng $180^0$ nên là tgnt.

b)

Vì $HCMB$ nội tiếp nên \(\widehat{ACH}=\widehat{HBM}\) hay \(\widehat{ACH}=\widehat{DBH}\)

Xét tam giác $HAC$ và $HDB$ có:

\(\left\{\begin{matrix} \widehat{ACH}=\widehat{DBH}\\ \widehat{AHC}=\widehat{DHB}=90^0\end{matrix}\right.\Rightarrow \triangle HAC\sim \triangle HDB(g.g)\)

\(\Rightarrow \frac{HA}{HC}=\frac{HD}{HB}\Rightarrow HA.HB=HC.HD\)