Question

Cho n thuộc N chứng minh rằng 2^2^2n+1+3 là hợp số

Answer 1

Lời giải:

Sửa lại đề: Với mọi $n\in\mathbb{N}^*$, vì khi $n=0$ thì biểu thức nhận giá trị =7 là số nguyên tố.
Ta thấy:

$2^{2n+1}=4^n.2\equiv 1^n.2\equiv 2\pmod 3$

$\Rightarrow 2^{2n+1}=3k+2$ với $k$ là số tự nhiên

$\Rightarrow 2^{2^{2n+1}}+3=2^{3k+2}+3$

$=8^k.4+3\equiv 1^k.4+3\equiv 7\equiv 0\pmod 7$

$\Rightarrow 2^{2^{2n+1}}+3\vdots 7$. Mà $2^{2^{2n+1}}+3>7$ với mọi $n\in\mathbb{N}^*$ nên $2^{2^{2n+1}}+3$ là hợp số.