Question

Cho m , n € N* và P là số nguyên tố thỏa mãn \(\dfrac{P}{m-1}\)= \(\dfrac{m+n}{P}\)chứng tỏ rằng p mũ 2 = n + 2

Answer 1

Giải:

Ta có: \(\dfrac{P}{m-1}=\dfrac{m+n}{P}\left(1\right)\)

Nếu \(m+n⋮P\)

\(\Rightarrow P⋮m-1\) do \(P\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=2\\m=P+1\end{matrix}\right.\) Khi đó từ \(\left(1\right)\) ta có \(P^2=n+2\)

Nếu \(m+n\) \(⋮̸\) \(P\)

Từ \(\left(1\right)\Rightarrow\left(m+n\right)\left(m-1\right)=P^2\)

Do \(P\) là số nguyên tố và \(m,n\in N\)*

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1=P^2\\m+n=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=P^2+1\\n=-P^2< 0\end{matrix}\right.\) (loại)

Vậy \(P^2=n+2\) (Đpcm)