Question

Cho lăng trụ ABC.A'B'C' đáy là tam giác vuông cân tại A, AA' ⊥ (ABC), M là trung điểm AB, N là trung điểm B'C' MN = a,

(MN;đáy) = α ; (MN; (BCB'C')) = β

a) Tính cạnh đáy và cạnh bên theo a và α

b) Chứng minh: cos α = \(\sqrt{2}\)sin β

Answer 1

Gọi P là trung điểm BC, Q là trung điểm BP

\(\Rightarrow NP//AA'\Rightarrow NP\perp\left(ABC\right)\Rightarrow\widehat{NMP}=\alpha\)

\(MP=\frac{1}{2}AC\) (đường trung bình)

\(MP=MN.cos\alpha=a.cos\alpha\Rightarrow AC=2a.cos\alpha\)

\(\Rightarrow BC=AC\sqrt{2}=...\) ; \(AA'=NP=MN.sin\alpha=a.sin\alpha\)

b.

\(AP\perp BC\) (do ABC cân tại A) \(\Rightarrow AP\perp\left(BCC'B'\right)\)

Mà \(MQ//AP\) (đường trung bình) \(\Rightarrow MQ\perp\left(BCC'B'\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{MNQ}=\beta\)

\(sin\beta=\frac{MQ}{MN}=\frac{AP}{2MN}=\frac{AC}{2\sqrt{2}MN}=\frac{cos\alpha}{\sqrt{2}}\)