Question

Cho hình vuông ABCD có độ dài đường chéo bằng 1. Tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên các cạnh của hình vuông. Chứng minh rằng chu vi tứ giác MNPQ không nhỏ hơn 2

Answer 1

Giải

Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các đoạn QM, PN, QN

Ta có: AE = \(\frac{QM}{2}\) (AE là trung tuyến của tam giác vuông MAQ)

Tương tự CF = \(\frac{PN}{2}\)

EI = \(\frac{MN}{2}\) (EI là đường trung bình của \(\Delta\)QMN)

FI = \(\frac{QP}{2}\) (FI là đường trung bình của \(\Delta\)DPQ)

Do đó chu vi của tứ giác MNPQ là:

MN + NP + PQ + QM = 2(EI + FC + FI + AE)

= 2AEIFC (đường gấp khúc)

\(\ge\) 2AC = 2 (đpcm)