Question

Cho hình thoi ABCD có O là giao điểm của 2 đường chéo. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = QA. Cm: a) Tứ giác BMDP là hình bình hành. b) 3 điểm N, O, Q thẳng hàng. c) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.Câu c chứng minh mà không sử dụng định lí thalès

Answer 1

a: Ta có: AM+MB=AB

CP+PD=CD

AQ+QD=AD

CN+NB=CB

mà AM=CP=AQ=CN và AB=CD=AD=CB

nên MB=PD=QD=NB

Xét tứ giác BMDP có

BM//DP

BM=DP

Do đó: BMDP là hình bình hành

b: ABCD là hình thoi

=>AC⊥BD tại O và O là trung điểm chung của AC và BD

Xét tứ giác BNDQ có

BN//DQ

BN=DQ

Do đó: BNDQ là hình bình hành

=>BD cắt NQ tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của BD

nên O là trung điểm của NQ

=>N,O,Q thẳng hàng

c: AMCP là hình bình hành

=>AC cắt MP tại trung điểm của mỗi đường

mà O là trung điểm của AC
nên O là trung điểm của MP

ΔAMQ cân tại A

=>\(\hat{AMQ}=\frac{180^0-\hat{MAQ}}{2}=\frac{180^0-\hat{BAD}}{2}\left(1\right)\)

ΔABD cân tại A

=>\(\hat{ABD}=\frac{180^0-\hat{BAD}}{2}\left(2\right)\)

Từ (1),(2) suy ra \(\hat{AMQ}=\hat{ABD}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên MQ//BD

Ta có: DQ=DP

=>ΔDQP cân tại D

=>\(\hat{DQP}=\frac{180^0-\hat{QDP}}{2}=\frac{180^0-\hat{ADC}}{2}\left(3\right)\)

ΔDAC cân tại D

=>\(\hat{DAC}=\frac{180^0-\hat{ADC}}{2}\left(4\right)\)

Từ (3),(4) suy ra \(\hat{DQP}=\hat{DAC}\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí đồng vị

nên PQ//AC
mà AC⊥BD

nên PQ⊥BD

Ta có: PQ⊥BD

QM//BD

DO đó: QM⊥QP

Xét tứ giác MNPQ có

O là trung điểm chung của MP và NQ

=>MNPQ là hình bình hành

Hình bình hành MNPQ có QM⊥QP

nên MNPQ là hình chữ nhật