cho hình thoi ABCD có góc B là góc tù .Từ B hạ BM vuông góc với AD, BN vuông góc với CD. Từ D hạ DP vuông góc với AB, DQ vuông góc với BC. Gọi H là giao điểm của MB và PD, K là giao điểm của BN và DQ. O là giao điểm của AC và BD. CMR
A, H là trực tâm của tam giác ABD
B, A,H,K,C thẳng hàng
C, góc PDQ = góc MBN
D, góc PHM = góc QKN
E, tứ giác BHDK là hình thoi
a: xét ΔABD có
BM,DP là các đường cao
BM cắt DP tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABD
b: H là trực tâm của ΔABD
=>AH\(\perp\)BD
mà AC\(\perp\)BD(ABCD là hình thoi)
nên A,H,C thẳng hàng(2)
Xét ΔCBD có
BN,DQ là các đường cao
BN cắt DQ tại K
Do đó: K là trực tâm của ΔCBD
=>CK\(\perp\)BD
mà CA\(\perp\)BD(ABCD là hình thoi)
và CK,CA có điểm chung là C
nên C,K,A thẳng hàng(1)
Từ (1),(2) suy ra A,H,K,C thẳng hàng
c: Ta có: DQ\(\perp\)BC
BC//AD
Do đó: DQ\(\perp\)AD
mà BM\(\perp\)DA
nên DQ//BM
=>BH//DK
Ta có: DH\(\perp\)AB
AB//CD
Do đó: DH\(\perp\)DC
mà BN\(\perp\)DC
nên DH//BN
=>DH//BK
Xét tứ giác BHDK có
BH//DK
BK//DH
Do đó: BHDK là hình bình hành
=>\(\widehat{PDQ}=\widehat{MBN}\)
d: ta có: BHDK là hình bình hành
=>\(\widehat{BHD}=\widehat{BKD}\)
mà \(\widehat{BHD}=\widehat{PHM}\)(hai góc đối đỉnh)
và \(\widehat{BKD}=\widehat{QKN}\)(hai góc đối đỉnh)
nên \(\widehat{PHM}=\widehat{QKN}\)
e: Hình bình hành BHDK có BD\(\perp\)HK
nên BHDK là hình thoi
