Cho hình thang ABCD có AD // BC (AD > BC). Đường chéo AC vuong goc CD, đường cao CH.
1) Chứng minh AC.HD = DC.HC
2) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AH, CH. Chứng minh rằng: tam giac AEC đồng dạng với tam giac CFD
3) Chứng minh: CE vuong goc DF
4) Biết AC = 8 cm; BC = 5 cm; DC = 6 cm. Tính dien tich ABCD
1: Xét ΔCHD vuông tại H và ΔACD vuông tại C có
\(\widehat{CDH}\) chung
Do đó: ΔCHD~ΔACD
=>\(\dfrac{CH}{AC}=\dfrac{HD}{CD}\)
=>\(CH\cdot CD=AC\cdot HD\)
2: Xét ΔAHC vuông tại H và ΔACD vuông tại C có
\(\widehat{CAD}\) chung
Do đó: ΔAHC~ΔACD
=>\(\dfrac{AH}{AC}=\dfrac{CH}{CD}\)
=>\(\dfrac{2AE}{AC}=\dfrac{2CF}{CD}\)
=>\(\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{CF}{CD}\)
=>\(\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{AC}{CD}\)
Xét ΔAEC và ΔCFD có
\(\dfrac{AE}{CF}=\dfrac{AC}{CD}\)
\(\widehat{EAC}=\widehat{FCD}\left(=90^0-\widehat{CDA}\right)\)
Do đó: ΔAEC~ΔCFD
3: Xét ΔHAC có
E,F lần lượt là trung điểm của HA,HC
=>EF là đường trung bình của ΔHAC
=>EF//AC
=>EF\(\perp\)CD
Xét ΔCED có
EF,CH là các đường cao
EF cắt CH tại F
Do đó: F là trực tâm của ΔCED
=>DF\(\perp\)EC
4: ΔACD vuông tại C
=>\(CA^2+CD^2=AD^2\)
=>\(AD^2=8^2+6^2=100=10^2\)
=>AD=10(cm)
Xét ΔCAD vuông tại C có CH là đường cao
nên \(CH\cdot AD=CA\cdot CD\)
=>\(CH\cdot10=6\cdot8=48\)
=>CH=48/10=4,8(cm)
\(S_{ABCD}=\dfrac{1}{2}\cdot CH\cdot\left(AD+BC\right)=\dfrac{1}{2}\cdot4,8\cdot\left(5+10\right)=15\cdot2,4=36\left(cm^2\right)\)
