Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.

a) Chứng minh BC\(^2\) = BD.DH

b) Kẻ DE là đường phân giác của tam giác ABD. Gọi I là giao điểm của DE và AH. Chứng minh ΔAIE cân và AE\(^2\) = IH.EB

Giúp e với ạ, e cảm ơn nhé!!!

Answer 1

a: Xét ΔDHA vuông tại H và ΔDAB vuông tại A có

\(\widehat{HDA}\) chung

Do đó: ΔDHA~ΔDAB

=>\(\dfrac{DH}{DA}=\dfrac{DA}{DB}\)(2)

=>\(DH\cdot DB=DA^2=BC^2\)

b: Ta có: \(\widehat{AEI}+\widehat{ADI}=90^0\)(ΔAED vuông tại A)

\(\widehat{HID}+\widehat{HDI}=90^0\)(ΔHID vuông tại H)

mà \(\widehat{ADI}=\widehat{HDI}\)(DI là phân giác của góc ADH)

nên \(\widehat{AEI}=\widehat{HID}\)

mà \(\widehat{HID}=\widehat{AIE}\)(hai góc đối đỉnh)

nên \(\widehat{AEI}=\widehat{AIE}\)

=>ΔAEI cân tại A

Xét ΔDAH có DI là phân giác

nên \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{DH}{DA}\left(1\right)\)

Xét ΔDAB có DE là phân giác

nên \(\dfrac{AE}{EB}=\dfrac{AD}{DB}\left(3\right)\)

Từ (1),(2),(3) suy ra \(\dfrac{IH}{IA}=\dfrac{AE}{EB}\)

=>\(IH\cdot EB=AE\cdot AI=AE^2\)