Question

Cho hình chữ nhật ABCD .Gọi H là hình chiếu của A trên BD ;M và N lần lượt là các điểm thuộc BH và CD sao cho \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}\).Chứng minh \(\widehat{AMN}=90^o\)

Answer 1

Kẻ MK//AB (\(K\in AH\)) \(\Rightarrow MK\perp AD\) , mà \(AH\perp DM\Rightarrow K\) là trực tâm tam giác \(AMD\Rightarrow DK\perp AM\)

Áp dụng Talet: \(\frac{HM}{BH}=\frac{MK}{AB}\)

Mà \(\frac{BM}{MH}=\frac{CN}{ND}\Leftrightarrow\frac{BM}{MH}+1=\frac{CN}{ND}+1\Leftrightarrow\frac{BH}{MH}=\frac{CD}{ND}\Leftrightarrow\frac{MH}{BH}=\frac{ND}{CD}\)

\(\Rightarrow\frac{MK}{AB}=\frac{ND}{CD}\Rightarrow MK=ND\) (do AB=CD)

Mà KM//AB//CD \(\Rightarrow MKDN\) là hbh (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

\(\Rightarrow DK//MN\Rightarrow MN\perp AM\Rightarrow\widehat{AMN}=90^0\)