Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD)
Bốn tam giác vuông \(SAH;SBH;SCH;SDH\) bằng nhau đôi một (ch-gn)
\(\Rightarrow AH=BH=CH=DH\) \(\Rightarrow\) H là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
\(\Rightarrow\) ABCD là hình vuông
\(\Rightarrow\) S.ABCD là chóp tứ giác đều
\(CD//AB\Rightarrow CD//\left(SAB\right)\Rightarrow d\left(SA;CD\right)=d\left(CD;\left(SAB\right)\right)=d\left(C;\left(SAB\right)\right)\)
Mà CH cắt (SAB) tại A; \(CA=2HA\Rightarrow d\left(C;\left(SAB\right)\right)=2d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)
Gọi M là trung điểm AB, từ H kẻ \(HE\perp SM\Rightarrow HE\perp\left(SAB\right)\Rightarrow HE=d\left(H;\left(SAB\right)\right)\)
\(AC=a\sqrt{2}\Rightarrow SH=\sqrt{SA^2-\left(\frac{AC}{2}\right)^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
\(HM=\frac{1}{2}AB=\frac{a}{2}\Rightarrow HE=\frac{SH.HM}{\sqrt{SH^2+HM^2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}\)
\(\Rightarrow d\left(SA;CD\right)=2HE=\frac{a\sqrt{6}}{3}\)