Question

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh rằng AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP

Answer 1

Gọi H là trung điểm của AD. Do tam giác SAD là tam giác đều nên SH vuông góc với AD

Do mặt phẳng (SAD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên SH vuông góc với BP(1)

Xét hình vuông ABCD ta có :

\(\Delta CDH=\Delta BCP\Rightarrow CH\perp BP\) (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra \(BP\perp\left(SHC\right)\)

Vì \(\begin{cases}MN||SC\\AN||CH\end{cases}\) \(\Rightarrow\left(AMN\right)||\left(SHC\right)\)

\(\Rightarrow BP\perp\left(AMN\right)\Rightarrow BP\perp AM\)

Kẻ vuông góc với mặt phẳng (ABCD), K thuộc vào mặt phẳng (ABCD), ta có :

\(V_{CMNP}=\frac{1}{3}MK.S_{CNP}\)

Vì \(MK=\frac{1}{2}SH=\frac{a\sqrt{3}}{4};S_{CNP}=\frac{1}{2}CN.CP=\frac{a^2}{8}\)

\(\Rightarrow V_{CMNP}=\frac{\sqrt{3}a^2}{96}\)