Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2$; Cạnh bên $SA = 1$ vuông góc với đáy. $M$ là trung điểm của $CD$. Tính $\cos \alpha$, với $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường thẳng $SB$ và $AM$.

Answer 1

Hai mặt phẳng (AB′D′)(AB′D′) và (A′C′D)(A′C′D) có giao tuyến là EFEF như hình vẽ.

Hai tam giác ΔA′C′D=ΔD′AB′ΔA′C′D=ΔD′AB′ và EFEF là đường trung bình của hai tam giác nên từ A′A′ và D′D′ ta kẻ 2 đoạn vuông góc lên giao tuyến EFEF sẽ là chung một điểm HH như hình vẽ.

Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng A′HA′H và D′HD′H.

Tam giác DEFDEF lần lượt có D′E=D′B′2=√132D′E=D′B′2=132, D′F=D′A2=52D′F=D′A2=52, EF=B′A2=√5EF=B′A2=5.

Theo hê rông ta có: SDEF=√614SDEF=614. Suy ra D′H=2SDEFEF=√30510D′H=2SDEFEF=30510.

Tam giác D′A′HD′A′H có: cosˆA′HD′=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961cos⁡A′HD′^=HA′2+HD′2−A′D′22HA′.HD′=−2961.

Do đó ˆA′HD′≈118,4∘A′HD′^≈118,4∘ hay (ˆA′H,D′H)≈180∘−118,4∘=61,6∘(A′H,D′H^)≈180∘−118,4∘=61,6∘.

Answer 2

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra \alpha = \widehat{NP, PC}α=NP,PC​.

Ta có NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2NP=2SB​=25​​ và PC = AM = \sqrt 5PC=AM=5​;\\ NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.NC=+=41​=233​​.

\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25⇒cosNPC=2.NP.PCNP2+PC2−NC2​=2.25​​.5​45​+5−433​​=−52​.

Vậy \cos \alpha = \dfrac25cosα=52​.2/5

Answer 3

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra \alpha = \widehat{NP, PC}α=NP,PC​.

Ta có NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2NP=2SB​=25​​ và PC = AM = \sqrt 5PC=AM=5​;\\ NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.NC=NA2+AC2​=41​+8​=233​​.

\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25⇒cosNPC=2.NP.PCNP2+PC2−NC2​=2.25​​.5​45​+5−433​​=−52​.

Vậy \cos \alpha = \dfrac25cosα=52​.

Answer 4

Answer 5

Cos a =2/5

Answer 6

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$

.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$

và $PC//AM$

.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$

.

Ta có $=-2/5$

 

Vậy

Answer 7

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

SB2=52 và 

 

NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−25.

 

 

25.

Answer 8

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

SB2=52 và 

NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−25

cosα= 2/5

Answer 9

Bài làm

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

SB2=52 và 

NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−25.

25.

Answer 10

Gọi NN và PP lần lượt là trung điểm của SASA và ABAB.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có NP//SBNP//SB và PC//AMPC//AM.

Suy ra α=ˆNP,PCα=NP,PC^.

Ta có NP=SB2=√52NP=SB2=52 và PC=AM=√5PC=AM=5;\\ NC=√NA2+AC2=√14+8=√332.NC=NA2+AC2=14+8=332.

⇒cosˆNPC=NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.√52.√5=−25⇒cos⁡NPC^=NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−25.

Vậy cosα=25cos⁡α=25.

Answer 11

Answer 12

Gọi N và P lần lượt là trung điểm của SA và AB.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có NP//SB và PC//AM.

Suy ra α=^NP,PC.

22=√14+8=√332.

2222.NP.PC=54+5−3342.√52.√5=−25.

Vậy cosα=25.

Answer 13

Answer 14

Answer 15

Answer 16

Gọi N và P lần lượt là trung điểm của SA và AB .

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có NP//SB và PC//AM ⇒ α=ˆNP,PC .

Ta có NP=SB2=√52 và PC=AM=√5;\\ NC=√NA2+AC2=√14+8=√332

⇒cosˆNPC=(NP2+PC2−NC2 )/(2.NP.PC)=(5/4+5−33/4)/(2.√5/2.√5)=−2/5

Vậy cosα=2/5

Answer 17

Answer 18

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

SB2=52 và $PC=AM=\sqrt{5}$
 

14+8=332.

 

NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−2

 

cosα= -2/5cos⁡α=

Answer 19

Answer 20

Answer 21

Answer 22

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra $\alpha =\widehat{NP,PC}$.

SB2=52 và 

NP2+PC2−NC22.NP.PC=54+5−3342.52.5=−25.

25.

Answer 23

Gọi $N$ và $P$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $AB$.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có $NP//SB$ và $PC//AM$.

Suy ra \alpha = \widehat{NP, PC}α=NP,PC​.

Ta có NP = \dfrac{SB}2 = \dfrac{\sqrt5}2NP=2SB​=25​​ và PC = AM = \sqrt 5PC=AM=5​;\\ NC = \sqrt{NA^2 + AC^2} = \sqrt{\dfrac14 + 8} = \dfrac{\sqrt{33}}2.NC=NA2+AC2​=41​+8​=233​​.

\Rightarrow \cos \widehat{NPC} = \dfrac{NP^2+PC^2-NC^2}{2.NP.PC} = \dfrac{\dfrac54 + 5 - \dfrac{33}4}{2.\dfrac{\sqrt5}2.\sqrt5} = -\dfrac25⇒cosNPC=2.NP.PCNP2+PC2−NC2​=2.25​​.5​45​+5−433​​=−52​.

Vậy \cos \alpha = \dfrac25cosα=52​.

Answer 24

Answer 25

Answer 26

Answer 27

Answer 28

  

Answer 29

Answer 30