Question

Cho hình bình hành ABCD. Gọi M;N;P;Q lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; DA. Gọi K là giao điểm của AC và DM , L là giao điểm của AC và BP

a, Tứ giác MNPQ là hình gì? Vì sao?

b,Tứ giác MDBP là hình gì? Vì sao?

c, Chứng minh rằng AK = KL = LC

Answer 1

Answer 2

a)

ΔABC có: MA = MB; NB = NC

Nên: MN là đường trung bình của ΔABC

⇒ MN // AC; MN = \(\dfrac{AC}{2}\) (1)

CMTT với ΔADC, ta được: PQ // AC; PQ = \(\dfrac{AC}{2}\) (2)

Từ (1), (2) ⇒ MN //PQ; MN = PQ

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành

b)

Ta có: MB // DP ( AB//CD); MB = DP ( MB = \(\dfrac{AB}{2}\) = \(\dfrac{AC}{2}\) = DP )

⇒ Tứ giác MDPB là hình bình hành

c)

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD

⇒ OA = OC; OB = OD

ΔADB có: Đường trung tuyến AO cắt đường trung tuyến DM tại K.

⇒ K là trọng tâm của ΔADB

⇒ AK = \(\dfrac{2}{3}\)OA; KO = \(\dfrac{1}{3}\)OA

CMTT với ΔBCD, ta được: CL = \(\dfrac{2}{3}\)OC; LO = \(\dfrac{1}{3}\)OC

Mà: OA= OC, nên: AK = OK+LO =CL

⇒ AK = KL = LC (đpcm)