Question

Cho hình bình hành ABCD có M, N là trung điểm AB, CD. Chứng minh AC, MN, BD đồng quy.

Answer 1

Gọi O là giao điểm của đoạn thẳng AC và BD. Xét △BOC và △DOA có:

∠OAD=∠OCB

BC=DA

∠ODA=∠OBC

=>△BOC = △DOA (g-c-g)

=>OC=OA

=> O là trung điểm của AC

Xét △ABC có :

M là trung điểm của AB

O là trung điểm của AC

=>MO là đường trung bình của △ABC

=>MO//BC

Xét △ADC có :

N là trung điểm của DC

O là trung điểm của AC

=>NO là đường trung bình của △ADC

=>NO//AD

Mà AD//BC (Vì ABCD là hình bình hành )

=>NO//BC

Mà MO//BC

=>N,O,M thẳng hàng (Tiên đề Ơ-clit )

=>O nằm trên đoạn thẳng MN

Mà O là giao điểm của đoạn thẳng AC và BD

=> MN,AC và BD đồng quy